Andreas Wölfers Baustatik Blog

Berechnung nach Th.2. Ordnung in der Baustatik, Zusammenfassung


Ich habe in den letzten Blogs einige Punkte in Bezug auf die Berechnung nach Th.2. Ordnung aufgegriffen. An dieser Stelle nun eine Übersicht über die einzelnen Einträge:

 

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 1

  • Wann muss nach Th.2 gerechnet werden?

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 2

  • Iterative Berechnung

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 3

  • Exponentielles Wachstum (nicht linear)

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 4

  • Nichtlineare Lastfallgruppen in der Baustatik

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 5

  • Generator für Nichtlineare Lastfallgruppen

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 6

  • Nichtlineare Einhüllende

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 7

  • Manuelle vs. automatische Erzeugung von nichtlinearen Lastfallgruppen

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 8

  • Nichtlineare Lastfallgruppen auf Grundlage einer Berechnung nach Th.1. Ordnung

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 9

  • Imperfektionen

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 10

  • Definition von Imperfektionen

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 11

  • Ausschluss von Lastfällen (Wind)

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 12

  • Ausschluss von Lastfällen (Imperfektionen)

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 13

  • Mathematische Abbildung der Imperfektionen

Zusammenfassung

  • Dieser Text

Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 13


Die Imperfektionen nach Th.2 Ordnung können als Schiefstellung oder als Vorkrümmung aufgebracht werden. In der Baustatik wird die Größe der Imperfektionen in beiden Fällen als Verhältnis zur Stablänge definiert.

Beispiel:

Stablänge = 4.50 m und Imperfektion = L/300

Daraus ergibt sich eine Auslenkung von 450 / 300 = 1.5 cm.

Zur Berücksichtigung dieser Auslenkung setzt die Baustatik folgende Ersatzlasten an.

Schiefstellung:

Ersatzlast (Einzellast) = Normalkraft nach Th.1 / Schiefstellung

bzw.: P = N1 / Phi

Das Programm setzt diese Ersatzlast P am Knoten mit der größeren Z-Koordinate an. An dem anderen Knoten wird die Kraft negativ angesetzt, um das Gleichgewicht wiederherzustellen.

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Vorkrümmung:

Ersatzlast (Streckenlast) =  8 * Normalkraft nach Th.1  / (Schiefstellung * Stablänge )

bzw.:  p = 8 * N1 / (Phi * L)

Ersatzlast (Einzellast) =  -4 * Normalkraft nach Th.1  / Schiefstellung

bzw.:  P = - 4 * N1 / Phi

Das Programm setzt die Streckenlast über den gesamten Stab an. Zur Wahrung des Gleichgewichtes wird an den beiden Endknoten jeweils die Einzellast P in entgegengesetzter Richtung angesetzt.

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 12


Rückblick Windeinwirkungen

Hier habe ich beschrieben, wie man am besten sich gegenseitig ausschließende Windeinwirkungen definiert, damit diese bei der automatischen Überlagerung korrekt berücksichtigt werden.

Noch einmal zur Erinnerung:

1. Die Windlasten in den entgegengesetzten Richtungen müssen in zwei verschiedenen Lastfällen angeordnet werden.

2. Die Einwirkungsarten der beiden Lastfälle sind so zu wählen, dass der Überlagerer diese auch ausschließen kann. (z.B. als “Wind von links” und “Wind von rechts”).

Imperfektionen

Die Imperfektionen bei der Berechnung nach Th.2. Ordnung sollen zu einer Vergrößerung der Auslenkung führen. Aus diesem Grund wird man diese im Normalfall in dieselben Richtung wirken lassen wie die Windlasten.

Da die Windlasten in zwei sich ausschließenden Richtungen wirken, müssen sich die Imperfektionen analog verhalten.

Bei der Eingabe wird man die Imperfektionen deshalb auch in zwei getrennten Lastfällen anordnen. Als Einwirkungsart wird dann “Imperfektion nach links”und “Imperfektion nach rechts” gewählt.

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Der Überlagerer erzeugt daraus zwei Kombinationen, die sich ausschließen. In der einen Gruppe befinden sich die Lastfälle, die nach links wirken, in der anderen, die nach rechts wirken.

Dies sieht dann grafisch folgendermaßen aus:

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Auflagerpressungen im Durchlaufträger nach EN 1995-1


Der Durchlaufträger weist bei Trägern aus Holz die Auflagerpressungen gemäß EN 1995-1 6.1.5.  nach.

Hierbei wird die Druckbeanspruchung auf der wirksamen Kontaktfläche Aef ermittelt.

Aef ist das Produkt aus der Lagerlänge in Längsrichtung (plus einem Zuschlag) sowie der Tiefe in Querrichtung.

Bisher wurde für die Tiefe in Querrichtung die Trägerbreite an dieser Stelle angesetzt.

Im Regelfall dürfte dies so ausreichend sein.

Ein Kunde hatte jedoch heute einen Fall, in dem der Träger nicht über die gesamte Breite gelagert war.

Dem tragen wir in der nächsten Version Rechnung.

Nun kann man bei einem Lager auch die Tiefe in Trägerquerrichtung angeben. Wird hier nichts eingegeben, so benutzt das Programm weiterhin die Trägerbreite.

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Scherengelenke in der Baustatik


Jeder Stab ist an seinen beiden Knoten mit einer Gelenkdefinition mit dem Gesamtsystem verbunden. In der Gelenkdefinition wird für jeden Freiheitsgrad (3 Verschiebungen und 3 Verdrehungen) eine Federsteifigkeit angegeben.

Da der Anschluss für das Gesamtsystem gilt, ist es auf diese Weise nicht möglich, unterschiedliche Vorgaben für verschieden angeschlossene Stäbe zu definieren.

Doch genau dies benötigt man, wenn ein Scherengelenk definieret werden soll.

Ich habe hier und hier beschrieben, was ein Scherengelenk genau ist und wie man sich behelfen kann.

Dies geschieht im wesentlichen durch die Erzeugung eines kleinen Verbindungsstabes, der am Ort des “Scherengelenkes” definiert wird.

Dies ist jedoch recht aufwändig.

Seit dem letzten Update haben wir eine wesentlich einfachere Möglichkeit in die Baustatik aufgenommen. Nun besteht die Möglichkeit, an Kreuzungspunkten von Stäben direkt ein Scherengelenk zu definieren.

Das Vorgehen ist wie folgt:

Man markiert die beiden sich kreuzenden Stäbe und ruft mit der rechten Maustaste das Kontextmenu auf. Ihn diesem wählt man den Befehlt: Scherengelenke an Stabkreuzungen erzeugen.

 

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Das Programm erzeugt nun an dem Kreuzungspunkt einen neuen Knoten. Weiterhin werden die beiden Stäbe in jeweils zwei Stücke geteilt, so dass nun 4 Stäbe an dem neuen Knoten angreifen.

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Die ursprünglichen Stäbe werden zu Stabzügen, die jeweils zwei neue Stäbe enthalten. Die Stabzüge sind in sich biegesteif miteinander verbunden. Die Stabzüge untereinander jedoch gelenkig angeschlossen.

Schon ist das Scherengelenk fertigSmile.

Einwirkungen auf den ursprünglichen Stäben werden dabei auf die neu entstandenen Stäbe verteilt..


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 11


Jede Windeinwirkung wird jeweils zweimal, in den beiden entgegengesetzten Richtungen, definiert. Einmal wirkt die Einwirkung von “Links” und einmal von “Rechts”. Eigentlich muss man auch die Richtungen “Vorne” und “Hinten” untersuchen, doch dies unterschlage ich in diesem Blog, da es das Prinzip unnötig verkomplizieren würde.

Alle Windeinwirkungen von “Links” werden in einem Lastfall angeordnet, die Einwirkungen von “Rechts” in einem anderen.

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Bei der Definition der Lastfälle wird die Einwirkungsart “Wind von links” und “Wind von rechts” explizit festgelegt.

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Im Programm ist verankert, dass sich die Lastfälle in den unterschiedlichen Windrichtungen bei der Bildung der Überlagerung gegenseitig ausschließen.

D.H.: Die Überlagerung wird einmal mit dem Lastfall 4 und getrennt davon einmal mit dem Lastfall 5 durchgeführt. Eine Überlagerung mit den beiden Lastfällen 4 und 5 wird nicht durchgeführt.

Genauso verhält es sich mit dem Generator für die “Nichtlinearen Lastfallgruppen”. Hier werden auch nur Gruppen gebildet, die entweder den Lastfall 4 oder den Lastfall 5 enthalten. Es entstehen keine Gruppen, die beide Lastfälle enthalten.

Dieser Zusammenhang lässt sich auch grafisch darstellen.


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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 10


Wie ich hier beschrieben habe, müssen bei der Berechnung nach Th.2. Ordnung Imperfektionen definiert werden. Die Imperfektionen in der Baustatik werden genauso wie “normale” Einwirkungen auf Stäbe aufgebracht.

Der Befehl dazu befindet sich im Erzeugen Menu.

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Die Imperfektion wird affin zur Knickfigur aufgebracht. Falls die Knicklinie über mehrere Stäbe verläuft, so können diese zu einem Stabzug zusammengefasst werden. Die Stabzüge müssen vorher über den Befehl “Erzeugen.Stabzüge” angelegt werden.

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Die Imperfektionen können mit “Vorzeichen” eingeben werden. Positive Imperfektionen wirken in die Richtung der entsprechende Achse, negative entgegengesetzt.

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Die Imperfektionen sollten so auf das System angesetzt werden, dass sich die Gesamtverformungen erhöhen. Die Richtung der Gesamtverformung ist jedoch vor der Berechnung nicht bekannt und kann auch für einzelnen “Nichtlinearen Lastfallgruppe” unterschiedlich sein.

In dieser Hinsicht sind die Vorverformungen analog den Windeinwirkungen zu behandelt.

Da vor der Rechnung nicht bekannt ist, welche Richtung die maßgebliche ist, sind diese Einwirkungen in beiden entgegengesetzten Richtungen anzusetzen. Wichtig dabei ist, dass diese entgegengesetzten Einwirkungen in zwei getrennten Lastfällen angeordnet werden. Diese Lastfälle können dann bei der Bildung der Überlagerung und auch bei der Erzeugung der “Nichtlinearen Lastfallgruppen” gegenseitig ausgeschlossen werden.


Rissnachweis


Wir sind zur Zeit damit beschäftigt, das Rissnachweisprogramm zu überarbeiten.

Das Programm  führt die Nachweise nach 7.3.2, 7.3.3, 7.3.4, sowie der WU-Richtlinie des DAfSt.

Nach 7.3.2 wird die Mindestrissbewehrung ermittelt.

Nach 7.3.3 wird bei vorgegebener Bewehrung der maximale Stababstand ermittelt.

Nach 7.3.4 wird bei vorgegebener Bewehrung die zu erwartende Rissbreite ermittelt.

Nach der WU-Richtlinie wird die vorhandene Bewehrung soweit erhöht, bis die geforderte Mindestdruckzonenhöhe erreicht ist.

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Das Programm ist noch nicht komplett fertig. Es wird aber nicht mehr allzu lange dauern.

Bei diesem Programm handelt es sich um ein eigenständiges Programm, bei dem die Belastung manuell einzugeben ist. Im nächsten Schritt werden wir die Rissbreitennachweise auch in die Platte, Rahmen  und Faltwerk einbauen.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 9


Berechnungen nach Th.2 werden am verformten System durchgeführt. Eine Vergrößerung der Verformungen führt dabei zu einem Anwachsen der Schnittgrößen.

Die endgültigen Verformungen setzten sich somit aus 2 Teilen zusammen.

  • Die “normale” Verformung des ideal perfekten Systems nach Th.1. Ordnung
  • Die zusätzliche Verformung aufgrund der iterativen Berechnung unter Berücksichtigung der Verformungen.

Die Größe der zusätzlichen Verformung ist, wie ich hier gezeigt habe, unter anderem vom System und der Belastung abhängig.

Unter ungünstigen Bedingungen (zu große Belastung, zu schwache Querschnitte, …) führt die iterative Berechnung des System zu immer größer werdenden Verformungen und das System bricht zusammen.

Da die Verformungen zu einer Vergrößerung der ursprünglichen Schnittgrößen aus einer Berechnung nach Th.1. Ordnung führen, müssen baupraktischen Ungenauigkeiten, die in der Realität immer auftreten, zusätzlich bei der Berechnung berücksichtigt werden.

Diese baupraktischen Abweichungen vom idealen System werden als Imperfektionen bezeichnet. Sie werden in der Baustatik als Vorverformung und Schiefstellung definiert.

Vorverformung

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Schiefstellung

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 8


In den letzten Blogs habe ich folgende zwei Möglichkeiten beschrieben, wie “Nichtlineare Lastfallgruppen” (NLG) in der Baustatik erzeugt werden können:

1. Manuell

2. Mit Generator

Bei der manuellen Definition hat man alle Freiheiten, muss sich aber darum kümmern, das alle relevanten NLG erfasst werden. Da dies bei großen Systemen oft schwierig ist, haben wir eine zusätzliche Methode in die Baustatik eingebaut.

Der Gedanke hinter dieser Methode ist folgender:

Wir gehen davon aus, dass sich das System bei einer Berechnung nach Th2. Ordnung ähnlich verhält wie bei einer Berechnung nach Th.1. Ordnung. Solange sich die Belastung nicht der Knicklast nähert, dürfte dies in den allermeisten Fällen zutreffen.

Vorgehensweise:

Das System wird nach Th.1. Ordnung berechnet und danach der Bemessungsdialog geöffnet.

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Auf dem Ergebnisdialog existiert der Befehl “Details anzeigen”. Dieser öffnet den Detailsdialog.

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Mit Hilfe dieses Dialogs lassen sich an jeder Stelle des Systems die Bemessungsergebnisse im Detail anzeigen. Dazu wird der gewünschte Stab sowie die gewünschte Stelle (Ntel) im Stab selektiert.

Bei der linearen Berechnung werden an allen Stellen im System alle mathematisch möglichen Kombinationen der Lastfälle vom Programm ausprobiert. Als Ergebnis erhält man an jeder Stelle den Maximalwert dieser Berechnungen. Dieser Maximalwert ist dabei aus einer ganz bestimmten Lastfallkombination (LK)  entstanden. Die an dieser LK beteiligten Lastfälle mit ihren Faktoren sind dem Programm bekannt.

An jedem Ntelspunkt im System kann rein theoretisch eine andere LK maßgeblich sein. Im Regelfall werden sich die LK jedoch nur feld- und stützenweise verändern.

Der Benutzer kann nun die Stellen im System genauer betrachten, die er für maßgeblich hält und die er gerne nach Th.2 Ordnung untersuchen möchte.

An dieser Stellen wird der Befehl “Nichtlineare Lastfallgruppe definieren” ausgewählt.

Das Programm erzeugt daraufhin eine neue NLG, die exakt die Lastfälle mit den entsprechenden Faktoren enthält, die zu dem Maximum an dieser Stelle geführt haben.

Fazit:

Anhand der Ergebnisse nach Th.1 bekommt man schnell einen Überblick über das System und kann einfach entscheiden, welche Stellen bemessungsrelevant sind. Die Erzeugung der NLG an diesen Stellen erfolgt danach automatisch. So kann man auch bei großen Systemen mit vielen Nutzlasten  sinnvolle Vorgaben für die NLG festlegen.

Der Statiker muss  nicht mehr festlegen, welche Lastfallkombinationen zu einem möglichen Maximum führe werden, sondern betrachtet einfach die Maximalwertverläufe im System.

Die Praxis hat gezeigt, dass man auch bei großen Systemen mit einer überschaubaren Anzahl an NLG das System genügend genau erfassen kann.




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