Andreas Wölfers Baustatik Blog

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 3


Die Schnittgrößen bei einer Berechnung nach Th.2.Ordnung werden iterativ berechnet. Die Ergebnisse hängen dabei in nicht linearer Weise von den Belastung ab. Aufgrund dieser Nichtlinearität kann keine direkte Beziehung zwischen der Größe der Belastung und den Ergebnissen angegeben werden.

Beispiel:

Die Verformungen bei einer Einwirkung von 100 kN betragen 10 cm. Bei einer linearen Berechnung würden sich bei einer Verdopplung der Einwirkung auf 200 kN die Verformungen zu 20 cm ergeben.

Bei der nichtlinearen Berechnung nach Th.2.Ordnung ergeben sich dagegen größere Verformungen als die 20 cm. Um wieviel größer die Ergebnisse gegenüber der linearen Berechnung sind, hängt von verschiedenen Dingen ab. Ein wichtiges Kriterium ist hier das Verhältnis der Größe der Einwirkung bezogen auf die Knicklast des Systems.


Einwirkung [kN]Ergebnis Th.1 [cm]Ergebnis Th.2 [cmVerhältnis [%]
1001010.1101
2002021105
4004050125
80080160200
1200120400400
16001601000625
1601160,1UnendlichUnendlich


Man kann schön sehen, dass das Verhältnis der Ergebnisse nach Th.1 und Th.2 immer größer wird. Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstum, bis hin zum Versagen des Systems.

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Aufgrund dieses exponentiellen Zusammenhanges von Einwirkung zum Ergebnis ist es bei Berechnungen nach Th.2.Ordnung nicht möglich, die Ergebnisse für einzelne Lastfälle zu berechnen und diese Ergebnisse in einem weiteren Schritt zu überlagern.

Vielmehr kann die Berechnung nur für Lastkollektive (Volllastfälle) durchgeführt werden. Diese Lastkollektive heißen bei uns in der Baustatik “nichtlineare Lastfallgruppen”.

Eine einzelne “nichtlineare Lastfallgruppe” enthält alle Lastfälle mit entsprechenden Faktoren, für die eine Berechnung durchzuführen ist.

Für jede definierte “nichtlineare Lastfallgruppe” wird eine vollständig eigenständige Berechnung durchgeführt.

Es kann passieren, dass die Berechnung einzelner “nichtlineare Lastfallgruppen” nicht durchgeführt werden kann, weil diese instabil wird. In diesem Fall wird die komplette Berechnung abgebrochen und es erscheint ein entsprechender Hinweise.

Das System ist in diesem Fall zu kontrollieren und anzupassen. (Größere Profile, Abstützungen, etc.)


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 2


Wie ich hier beschrieben habe, werden die Schnittgrößen bei einer Berechnungen nach Th.2.Ordnung am verformten System ermittelt. Zu Beginn einer Berechnung sind die Verformungen natürlich nicht bekannt. Aus diesem Grund muss die Berechnung iterativ durchgeführt werden.

Dies kann man auch von Hand folgendermaßen durchführen:

Die Berechnung wird zunächst mit den ursprünglichen Einwirkungen am unverformten System durchgeführt. An diesem System ergeben sich Verformungen.

Im nächsten Schritt werden die Einwirkungen auf das verformte System aufgebracht. Diese Berechnung führt zu größeren Verformungen. Nun wird die Differenz der Verformungen aus der vorherigen Berechnung zur aktuellen Berechnung ermittelt.

Dieses Vorgehen wird solange durchgeführt, bis sich die Differenzen nicht mehr “viel” ändern.

Bei dieser iterativen Berechnung können nun zwei Dinge passieren:

1. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt größer. In diesem Fall existiert, rein mathematisch betrachtet, für die Verformungen kein Maximalwert. Das System ist nicht berechenbar, also instabil.

2. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt immer kleiner. Die Verformungen wachsen bis zu einem Grenzwert an, der nicht überschritten wird. In diesem Fall ist das System berechenbar, also stabil. Hier handelt es sich, mathematisch betrachtet, um eine Reihe, die einem Grenzwert entgegenstrebt. Manuell würde man mit der Iteration aufhören, sobald das Ergebnis “genau genug” ist.

Bei einem vorhandenen statischen System wird die Grenze zwischen Fall 1 und Fall 2 auf der Lastseite durch die “Knicklast” beschrieben. Ist die vorhandene Einwirkung kleiner aus die Knicklast, ist das System stabil, ansonsten instabil.

In unserem Programm wird diese Berechnung nicht iterativ durchgeführt. Vielmehr enthalten die Steifigkeitsmatrizen direkt die Anteile aus der Berechnung nach Th.2. Ordnung. Auf diese Weise spart sich das Programm die Iteration und somit ist die Berechnung viel schneller als die iterative Variante.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 1


Berechnungen nach Theorien 1. und 2. unterscheiden sich darin, an welchem System die Schnittgrößen berechnet werden.

Bei Th.1. Ordnung werden die Schnittgrößen am unverformten System berechnet. Bei Th.2. Ordnung am verformten System.

Th.1 kann immer dann angewendet werden, wenn der Einfluss der Verformungen auf die inneren Schnittgrößen vernachlässigt werden kann.

Im Beispiel nach Th.1 ergibt sich das Moment lediglich aus der vertikalen Belastung.

Im Beispiel nach Th.2 vergrößert sich das Moment durch den Anteil aus (Normalkraft * Ausmitte). Hier ändert sich das Moment in Abhängigkeit von der Verformung.

Fazit:

Wenn sich die Schnittgrößen nicht (oder nur unwesentlich) in Abhängigkeit von der Verformung ändern, kann das System nach Th.1. Ordnung berechnet werden, ansonsten nach Th.2. Ordnung.


Lastgenerator


Der Lastgenerator ermittelt die Wind- und Schneebelastungen nach EN 1991-1 Teil 3 und 4.

Im EN 1991-1 sind Tabellen enthalten, die die Größe von cpe in Abhängigkeit von der Dachneigung festlegen. Diese Tabellen verwenden wir auch im Lastgenerator. Leider haben sich bei den Tabellen im Programm zwei Fehler eingeschlichen. So wurden in einigen Fällen falsche cpe Werte ermittelt. Dies ist in der nächsten Version behoben.

Ein weiterer Fehler befindet sich momentan noch im Programm. Durch diesen werden die Dachflächen unzulässigerweise in mehrere, sinnlos erscheinende, Bereiche eingeteilt. Dieser Fehler fällt sofort bei Betrachten der Ergebnisse auf und ist mit dem nächsten Update behoben.


Besonderheiten der Holzbemessung (kmod)


Die allgemeine Formel für den Bemessungswert einer Festigkeitseigenschaft im Holzbau nach EC5 lautet:



Der Werk kmod hängt nach Tabelle 3.1 vom Baustoff und der Lasteinwirkungsdauer der beteiligten Einwirkungen ab:


Je kürzer die Zeit ist, die eine Einwirkung auf das Bauteil wirkt, umso größer wird kmod und somit auch der zulässige Bemessungswert der Festigkeitseigenschaften.

Wirken in einer Lastkombination verschiedene Einwirkungen mit unterschiedlichen Werten von kled, so darf bei der Ermittlung von kmod der günstigere zugrunde gelegt werden.

Das Programm untersucht bei der Berechnung einer linearen Überlagerungsregel alle möglichen Kombinationen der Lastfälle. Für jede dieser Kombinationen wird der dazu gehörige kled und damit der kmod Wert berechnet.

Mit den Schnittgrößen dieser Kombinationen und den dazugehörigen Bemessungswerten der Festigkeitseigenschaft wird der Nachweis geführt.


Beispiel mit 2 Lastfälle:

Lastfallkledkmod
1ständig0.6
2mittel0.8


In Kombinationen, in denen der Lastfall 2 berücksichtigt wird, wird ein kmod von 0.8 berücksichtigt, ansonsten ein kmod von 0.6. Diese Kombinationen besitzen somit einen größeren zulässigen Bemessungswert.

Aufgrund dieser Zusammenhänge kann es vorkommen, dass bei Kombinationen, in denen Lastfall 2 berücksichtigt wird, eine geringere Ausnutzung berechnet wird, als bei Kombinationen ohne den Lastfall 2.


Darstellung im Programm:

Dieser Zusammenhang kann im Programm bei den Ergebnissen der “linearen Überlagerungsregeln” kontrolliert werden.

Hier kann man folgende Schnittgrößen betrachten:

  • Die absolut größten Schnittgrößen (Grundkombination)
  • Die Schnittgrößen, die zu der größten Ausnutzung führen (Grundkombination mit kmod)


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Fazit:

Aufgrund der Abhängigkeit des Bemessungswertes von kmod kann es passieren, dass die größten statisch ermittelten Schnittgrößen nicht zu den größten Ausnutzungen führen. D.h.: Die Bemessungsschnittgrößen sind nicht die größten, die in dem System auftreten können.

Dies geschieht häufig dann, wenn die ständigen Einwirkungen im Verhältnis zu den Verkehrseinwirkungen groß sind.


In der Hilfe zu dem Programm gibt es hier ein Zahlenbeispiel.


Faltwerksanschlüsse vs. Ergebnislinien


Faltwerksanschlüsse

Faltwerksanschlüsse werden an Stellen verwendet, an denen einzelne Faltwerkselemente nicht biegesteif miteinander verbunden sind. Die Festigkeit kann bei einem Anschluss für jeden Freiheitsgrad einzeln eingestellt werden. Der häufigste Anwendungsfall ist die Ausbildung eines Gelenkes. Bei diesem werden alle Kräfte, jedoch keine Momente um die Achse des Anschlusses übertragen.

Seit kurzem können die in dem Faltwerksanschluss übertragenen Schnittgrößen angezeigt werden. Dies habe ich hier beschrieben.

Ergebnislinien

Ergebnislinien legen einen Schnitt durch die Ergebnisse von Flächenelementen und zeigen nur in diesem Schnitt die Ergebnisse an. Sie werden an Stellen verwendet, an denen Ergebnisse von Interesse sind, jedoch keine Netzknoten vorliegen. Dies sind z.B. Kanten von Lagern.

Ergebnislinien sind kein statisches Element im System, sondern werten die vorhandenen Ergebnisse nur aus. D.h.:  die vorhandenen Ergebnisse werden lediglich interpoliert.

Sind die Flächenergebnisse schlecht, weil z.B. das Netz nicht richtig gewählt wurde, so sind die Ergebnisse in den Ergebnislinien auch nicht besser.

Bisher wurden die Ergebnislinien an Faltwerksanschlüssen verwendet, da diese von sich aus noch keine Ergebnisse liefern konnten. Dies ist nun nicht mehr notwendig.

Faltwerksanschlüsse als Linie, die Ergebnisse liefern kann

Verwendet man im System Faltwerksanschlüsse, bei denen alle Freiheitsgrade fest sind, handelt es sich um eine biegesteife Verbindung. Die Ergebnisse im System sind dieselben, als wenn kein Anschluss eingebaut worden wäre.

Für diesen Anschluss können die Schnittgrößen angezeigt werden. Diese sind oft besser als die Ergebnisse in den Ergebnislinien, weil die Anschlüssen direkt im statisch System sind.

Beispiel

Als Beispiel soll ein Einfeldträger mit Kragarm betrachtet werden. Der Kragarm ist 1 m lang und hat eine Belastung von 1 kN/m. Die Querkraft am Auflager muss also 1 kN betragen.

Dies kann man anhand eines Balkens leicht überprüfen. Die Querkraft habe ich grün markiert.

Dasselbe Beispiel habe ich nun als Platte eingegeben. Die Querkraft in der Ergebnislinie wird mit 0.72 berechnet. Im Faltwerksanschluss beträgt sie hingegen auch exakt 1 kN

Fazit

Wenn möglich, sollte man zur Ergebnisermittlung Faltwerksanschlüsse anstatt Ergebnislinien verwenden


Ergebnisse in Faltwerksanschlüssen, Teil2


Seit dem letzten Monat kann man sich in der Baustatik die Schnittgrößen in Faltwerksanschlüssen analog den Ergebnissen von Streckenlasten anzeigen lassen. Was auf den ersten Blick so einfach aussieht, war intern mit erheblichem Aufwand verbunden.

Leider hat sich hier ein Fehler eingeschlichen.

Die statische Behandlung der Anschlüsse war korrekt und somit auch die Ergebnisse der Einzellastfälle. Die Berechnung von linearen Überlagerungsregeln lieferte allerdings merkwürdige Ergebnisse.

Dieses Problem ist in der kommenden Version behoben.


Ergebnisse in Faltwerksanschlüssen


Standardmäßig sind alle Faltwerkselemente untereinander biegesteif miteinander verbunden.

An den Stellen, an denen man dies nicht will, müssen Faltwerksanschlüsse definiert werden. Für diese Faltwerksanschlüsse kann für jeden Freiheitsgrad eine Größe für die Verbindungssteifigkeit eingestellt werden.

Um z.B. keine Übertragung von Momenten um die Achse des Faltwerksanschlusses zuzulassen, gibt man für den Wert bei "XX” 0.0 ein.

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Dieser Fall trifft oft bei Balkonen auf, die mit Schöck Isokörben angeschlossen werden. Hier sollen keine Momente senkrecht zu dem Anschluss übertragen werden.

Zur Bemessung der Isokörbe wird die Größe der Querkraft in dem Anschluss benötigt. Diese Werte kann man sich nun in der nächsten Version der Baustatik anzeigen lassen.

Sobald sich Faltwerksanschlüsse im System befinden, ist der Ergebnisbaum um die Ergebnisse der Faltwerkselemente erweitert.

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Die Ergebnisse werden ähnlich wie die Ergebnisse von Streckenlagern dargestellt.

Zur Veranschaulichung habe ich folgendes Beispiel eingegeben:

Eine rechteckige Platte ist in der Mitte durch ein Streckenlager gelagert. An dieser Stelle habe ich einen Faltwerksanschluss angebracht.

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Da es sich um eine symmetrische Platte handelt, ist die Auflagerkraft im Streckenlager exakt doppelt so groß wie die Querkraft im Faltwerksanschluss.

Die Auflagerkraft beträgt 6,87 kN/m, die Querkraft 3.44 kN/m.

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Brettsperrholz, Einbaulage und Darstellung


Brettsperrholz besteht aus mehreren Lagen aus verschiedenen Hölzern. Diese Lagen sind jeweils um 90 Grad gegeneinander verdreht.

Das Programm legt diese Hölzer so ein, dass die oberste Lage parallel zur lokalen X-Achse des Faltwerkelementes ausgerichtet ist.

Die Richtung der oberen Lage wird in der Grafik des Dokumentes dargestellt.

Diese Festlegung ist nicht immer sinnvoll, wie man an der Grafik erkennen kann.

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In dem obigen Beispiel ist die Spannrichtung parallel zur lokalen Y-Achse des Elementes.

Diese Ausrichtung kann man einfach über den Befehl “Im lokalen KS um 90° drehen” erzeugen.


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Diese Änderung ist ab dem kommenden Update verfügbar.


Scherengelenk, Teil 2


Gestern habe ich über die Scherengelenke geschrieben. Hier eine Grafik, wie das aussehen kann:

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Und vergrößert:


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Damit keine Biegemomenten von einem Stabstrang zu dem anderen übertragen werden können, darf der keine Torsion in dem kleinen Stabstück übertragen werden. Dazu ist der Verdrehungsfreiheitsgrad um X  in einem der Gelenke auf 0.0 zu setzten.


Der Stab ist folgendermaßen definiert:

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