Andreas Wölfers Baustatik Blog

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 9


Berechnungen nach Th.2 werden am verformten System durchgeführt. Eine Vergrößerung der Verformungen führt dabei zu einem Anwachsen der Schnittgrößen.

Die endgültigen Verformungen setzten sich somit aus 2 Teilen zusammen.

  • Die “normale” Verformung des ideal perfekten Systems nach Th.1. Ordnung
  • Die zusätzliche Verformung aufgrund der iterativen Berechnung unter Berücksichtigung der Verformungen.

Die Größe der zusätzlichen Verformung ist, wie ich hier gezeigt habe, unter anderem vom System und der Belastung abhängig.

Unter ungünstigen Bedingungen (zu große Belastung, zu schwache Querschnitte, …) führt die iterative Berechnung des System zu immer größer werdenden Verformungen und das System bricht zusammen.

Da die Verformungen zu einer Vergrößerung der ursprünglichen Schnittgrößen aus einer Berechnung nach Th.1. Ordnung führen, müssen baupraktischen Ungenauigkeiten, die in der Realität immer auftreten, zusätzlich bei der Berechnung berücksichtigt werden.

Diese baupraktischen Abweichungen vom idealen System werden als Imperfektionen bezeichnet. Sie werden in der Baustatik als Vorverformung und Schiefstellung definiert.

Vorverformung

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Schiefstellung

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 8


In den letzten Blogs habe ich folgende zwei Möglichkeiten beschrieben, wie “Nichtlineare Lastfallgruppen” (NLG) in der Baustatik erzeugt werden können:

1. Manuell

2. Mit Generator

Bei der manuellen Definition hat man alle Freiheiten, muss sich aber darum kümmern, das alle relevanten NLG erfasst werden. Da dies bei großen Systemen oft schwierig ist, haben wir eine zusätzliche Methode in die Baustatik eingebaut.

Der Gedanke hinter dieser Methode ist folgender:

Wir gehen davon aus, dass sich das System bei einer Berechnung nach Th2. Ordnung ähnlich verhält wie bei einer Berechnung nach Th.1. Ordnung. Solange sich die Belastung nicht der Knicklast nähert, dürfte dies in den allermeisten Fällen zutreffen.

Vorgehensweise:

Das System wird nach Th.1. Ordnung berechnet und danach der Bemessungsdialog geöffnet.

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Auf dem Ergebnisdialog existiert der Befehl “Details anzeigen”. Dieser öffnet den Detailsdialog.

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Mit Hilfe dieses Dialogs lassen sich an jeder Stelle des Systems die Bemessungsergebnisse im Detail anzeigen. Dazu wird der gewünschte Stab sowie die gewünschte Stelle (Ntel) im Stab selektiert.

Bei der linearen Berechnung werden an allen Stellen im System alle mathematisch möglichen Kombinationen der Lastfälle vom Programm ausprobiert. Als Ergebnis erhält man an jeder Stelle den Maximalwert dieser Berechnungen. Dieser Maximalwert ist dabei aus einer ganz bestimmten Lastfallkombination (LK)  entstanden. Die an dieser LK beteiligten Lastfälle mit ihren Faktoren sind dem Programm bekannt.

An jedem Ntelspunkt im System kann rein theoretisch eine andere LK maßgeblich sein. Im Regelfall werden sich die LK jedoch nur feld- und stützenweise verändern.

Der Benutzer kann nun die Stellen im System genauer betrachten, die er für maßgeblich hält und die er gerne nach Th.2 Ordnung untersuchen möchte.

An dieser Stellen wird der Befehl “Nichtlineare Lastfallgruppe definieren” ausgewählt.

Das Programm erzeugt daraufhin eine neue NLG, die exakt die Lastfälle mit den entsprechenden Faktoren enthält, die zu dem Maximum an dieser Stelle geführt haben.

Fazit:

Anhand der Ergebnisse nach Th.1 bekommt man schnell einen Überblick über das System und kann einfach entscheiden, welche Stellen bemessungsrelevant sind. Die Erzeugung der NLG an diesen Stellen erfolgt danach automatisch. So kann man auch bei großen Systemen mit vielen Nutzlasten  sinnvolle Vorgaben für die NLG festlegen.

Der Statiker muss  nicht mehr festlegen, welche Lastfallkombinationen zu einem möglichen Maximum führe werden, sondern betrachtet einfach die Maximalwertverläufe im System.

Die Praxis hat gezeigt, dass man auch bei großen Systemen mit einer überschaubaren Anzahl an NLG das System genügend genau erfassen kann.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 7


Die zur Berechnung nach Th.2 Ordnung erforderlichen Volllastfälle (NLG) können entweder manuell oder per Generator erzeugt werden. Beide Vorgehensweisen haben Vor- und Nachteile.

Wird der Generator benutzt, kann man sicher sein, dass alle mathematisch möglichen NLG berücksichtigt werden. Da die Anzahl der zu berücksichtigenden NLG nicht linear sondern etwa quadratisch von der Anzahl der veränderlichen Lastfälle im System abhängt, kommt dieses Verfahren bei großen Systemen schnell an seine Grenzen. Die Anzahl der zu berechnenden NLG wird einfach zu groß, als dass sich das System noch in einer erträglichen Zeit berechnen lässt.

In solchen Fällen ist die manuelle Definition zu verwenden. Diese hat jedoch den Nachteil, dass der Anwender vorab nur abschätzen kann, welche NLG für die Bemessung relevant sind. Es kann also passieren, dass bei der manuellen Definition maßgebliche NLG unberücksichtigt bleiben.

Ich empfehle folgende Vorgehensweise:

Man sollte immer versuchen, den Generator zu verwenden, da dies einfach am schnellsten geht und wirklich alle möglichen Kombinationen berücksichtigt werden. Für diesen Komfort muss man etwas längere Rechenzeiten in Kauf nehmen.

Die Anzahl der zu untersuchenden NLG hängt quadratisch von der Anzahl der veränderlichen Lastfälle im System ab. Oft lassen sich einzelnen veränderliche Lastfälle zusammenfassen, ohne dass dies wesentlichen Einfluss auf die Endergebnisse hat. Diese Reduktion führt direkt zu einer Verminderung der erforderlichen NLG und somit der Rechenzeit.

Erst, wenn diese Reduktion nicht zu einer sinnvollen Anzahl an NLG führt, müssen die NLG manuell definiert werden.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 6


Bei der Berechnung nach Th.2 Ordnung müssen vor der Berechnung alle relevanten Volllastfälle (NLG) definiert werden. Diese werden unabhängig voneinander berechnet. Die NLG können entweder manuell definiert oder über einen Generator erzeugt werden.

Die festgelegten NLG müssen zwar alle berechnet werden, doch im Regelfall sind nicht die Ergebnisse einer einzelnen NLG interessant, sondern die Einhüllende aus allen definierten NLG.

Diese Einhüllende heißt in der Baustatik “Nichtlineare Einhüllende” (NE).

Genau wie die NLG lassen sich die “Nichtlinearen Einhüllenden” entweder manuell oder per Generator erzeugen.

Manuell

Bei der manuellen Eingabe werde auf dem Dialog die gewünschten NLG in die NE geschoben.

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Mit dem Befehl >> können alle NLG auf einmal verschoben werden.

Per Generator

Wird zur Erzeugung der NLG der Generator benutzt, erzeugt dieser die NE direkt mit. Hier muss lediglich das gewünschte Präfix, wie z.B. “Bem” für die Bemessung vergeben werden. Die NE wird dann automatisch mit angelegt.

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Diese enthält dann alle erzeugten NLG. Nach der Erzeugung lassen sich einzelnen NLG wieder aus der NE entfernen. Im Regelfall kann man die NE unverändert verwenden.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 5


Die manuelle Definition von “Nichtlineare Lastfallgruppen” (NLG) habe ich hier beschrieben.

Der Anwender muss vor der Berechnung alle Volllastfälle (NLG) festlegen, die er für relevant hält. Da er im Regelfall vor der Berechnung nicht weiß, welche NLG relevant sind, müssen eigentlich alle möglichen NLG definiert werden.

Die Anzahl der möglichen NLG hängt hauptsächlich von der Anzahl der veränderlichen Lastfälle im System ab und berechnet sich (vereinfacht erklärt) über die Fakultät. Daher kann es leicht zu mehreren Hundert zu untersuchenden NLG in einem System kommen.

Diese lassen sich nur umständlich manuell definieren. Aus diesem Grund haben wir einen Generator zur Erzeugung aller mathematisch möglichen NLG eingebaut.

Der Generator befindet sich im Kontextmenu der NLG.


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Im Generator wird wie bei der manuellen Definition die Norm und die Bemessungssituation eingestellt.

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Der Befehlt “Vorlagen Berechnen” erstellt eine Liste aller möglichen NLG. Dabei werden die im System definierten Lastfälle auf jede mathematisch mögliche Art miteinander kombiniert.

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Der Generator berücksichtigt dabei auch sich gegenseitig ausschließende Lastfälle wie Wind von links/rechts.

Diese Liste lässt sich im Anschluss in das Dokument übertragen. Dazu ist ein Präfix für den Namen der erzeugten NLG anzugeben.

Zum Beispiel kann man die NLG, die für die Bemessung relevant sind, mit “BEM” bezeichnen, die für die Auflagerkräfte mit “CHAR”.

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Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 4


Bei einer Berechnung nach Th.2. Ordnung werden Volllastfälle untersucht. Diese heißen in der Baustatik “Nichtlineare Lastfallgruppen”.

Alle “Nichtlinearen Lastfallgruppen” (NLG)werden bei einer Berechnung getrennt nacheinander untersucht. Vor der Berechnung müssen diese angelegt werden.

Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten

Manuelle Definition

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Zunächst werden ein die grundlegenden Parameter für die NLG festgelegt. Die in diesem Zusammenhang wesentlichen Werte sind die Norm und die Bemessungssituation. Diese Einstellungen legen für jeden Lastfall fest, mit welchen Beiwerten (Sicherheitsbeiwert und Kombinationsbeiwert) er in dieser NLG berücksichtigt werden soll.

In der linken Liste sind alle Lastfälle des System aufgeführt. Über die Befehlsschaltflächen rechts daneben  kann der Lastfall in die NLB mit den festgelegten Beiwerten in die NLG aufgenommen werden.

Ständige Lastfälle können als Ungünstig oder Günstig wirkend definiert werden.

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Veränderliche Lastfälle können als Leiteinwirkung oder Weitere Einwirkung aufgenommen werden.

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Nachdem der Lastfall in die NLG transferiert wurden, kann der Faktor manuell verändert werden.

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Der Lastfall wird bei der Berechnung mit exakt diesem Faktor berücksichtigt.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 3


Die Schnittgrößen bei einer Berechnung nach Th.2.Ordnung werden iterativ berechnet. Die Ergebnisse hängen dabei in nicht linearer Weise von den Belastung ab. Aufgrund dieser Nichtlinearität kann keine direkte Beziehung zwischen der Größe der Belastung und den Ergebnissen angegeben werden.

Beispiel:

Die Verformungen bei einer Einwirkung von 100 kN betragen 10 cm. Bei einer linearen Berechnung würden sich bei einer Verdopplung der Einwirkung auf 200 kN die Verformungen zu 20 cm ergeben.

Bei der nichtlinearen Berechnung nach Th.2.Ordnung ergeben sich dagegen größere Verformungen als die 20 cm. Um wieviel größer die Ergebnisse gegenüber der linearen Berechnung sind, hängt von verschiedenen Dingen ab. Ein wichtiges Kriterium ist hier das Verhältnis der Größe der Einwirkung bezogen auf die Knicklast des Systems.


Einwirkung [kN]Ergebnis Th.1 [cm]Ergebnis Th.2 [cmVerhältnis [%]
1001010.1101
2002021105
4004050125
80080160200
1200120400400
16001601000625
1601160,1UnendlichUnendlich


Man kann schön sehen, dass das Verhältnis der Ergebnisse nach Th.1 und Th.2 immer größer wird. Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstum, bis hin zum Versagen des Systems.

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Aufgrund dieses exponentiellen Zusammenhanges von Einwirkung zum Ergebnis ist es bei Berechnungen nach Th.2.Ordnung nicht möglich, die Ergebnisse für einzelne Lastfälle zu berechnen und diese Ergebnisse in einem weiteren Schritt zu überlagern.

Vielmehr kann die Berechnung nur für Lastkollektive (Volllastfälle) durchgeführt werden. Diese Lastkollektive heißen bei uns in der Baustatik “nichtlineare Lastfallgruppen”.

Eine einzelne “nichtlineare Lastfallgruppe” enthält alle Lastfälle mit entsprechenden Faktoren, für die eine Berechnung durchzuführen ist.

Für jede definierte “nichtlineare Lastfallgruppe” wird eine vollständig eigenständige Berechnung durchgeführt.

Es kann passieren, dass die Berechnung einzelner “nichtlineare Lastfallgruppen” nicht durchgeführt werden kann, weil diese instabil wird. In diesem Fall wird die komplette Berechnung abgebrochen und es erscheint ein entsprechender Hinweise.

Das System ist in diesem Fall zu kontrollieren und anzupassen. (Größere Profile, Abstützungen, etc.)


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 2


Wie ich hier beschrieben habe, werden die Schnittgrößen bei einer Berechnungen nach Th.2.Ordnung am verformten System ermittelt. Zu Beginn einer Berechnung sind die Verformungen natürlich nicht bekannt. Aus diesem Grund muss die Berechnung iterativ durchgeführt werden.

Dies kann man auch von Hand folgendermaßen durchführen:

Die Berechnung wird zunächst mit den ursprünglichen Einwirkungen am unverformten System durchgeführt. An diesem System ergeben sich Verformungen.

Im nächsten Schritt werden die Einwirkungen auf das verformte System aufgebracht. Diese Berechnung führt zu größeren Verformungen. Nun wird die Differenz der Verformungen aus der vorherigen Berechnung zur aktuellen Berechnung ermittelt.

Dieses Vorgehen wird solange durchgeführt, bis sich die Differenzen nicht mehr “viel” ändern.

Bei dieser iterativen Berechnung können nun zwei Dinge passieren:

1. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt größer. In diesem Fall existiert, rein mathematisch betrachtet, für die Verformungen kein Maximalwert. Das System ist nicht berechenbar, also instabil.

2. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt immer kleiner. Die Verformungen wachsen bis zu einem Grenzwert an, der nicht überschritten wird. In diesem Fall ist das System berechenbar, also stabil. Hier handelt es sich, mathematisch betrachtet, um eine Reihe, die einem Grenzwert entgegenstrebt. Manuell würde man mit der Iteration aufhören, sobald das Ergebnis “genau genug” ist.

Bei einem vorhandenen statischen System wird die Grenze zwischen Fall 1 und Fall 2 auf der Lastseite durch die “Knicklast” beschrieben. Ist die vorhandene Einwirkung kleiner aus die Knicklast, ist das System stabil, ansonsten instabil.

In unserem Programm wird diese Berechnung nicht iterativ durchgeführt. Vielmehr enthalten die Steifigkeitsmatrizen direkt die Anteile aus der Berechnung nach Th.2. Ordnung. Auf diese Weise spart sich das Programm die Iteration und somit ist die Berechnung viel schneller als die iterative Variante.


Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 1


Berechnungen nach Theorien 1. und 2. unterscheiden sich darin, an welchem System die Schnittgrößen berechnet werden.

Bei Th.1. Ordnung werden die Schnittgrößen am unverformten System berechnet. Bei Th.2. Ordnung am verformten System.

Th.1 kann immer dann angewendet werden, wenn der Einfluss der Verformungen auf die inneren Schnittgrößen vernachlässigt werden kann.

Im Beispiel nach Th.1 ergibt sich das Moment lediglich aus der vertikalen Belastung.

Im Beispiel nach Th.2 vergrößert sich das Moment durch den Anteil aus (Normalkraft * Ausmitte). Hier ändert sich das Moment in Abhängigkeit von der Verformung.

Fazit:

Wenn sich die Schnittgrößen nicht (oder nur unwesentlich) in Abhängigkeit von der Verformung ändern, kann das System nach Th.1. Ordnung berechnet werden, ansonsten nach Th.2. Ordnung.


Lastgenerator


Der Lastgenerator ermittelt die Wind- und Schneebelastungen nach EN 1991-1 Teil 3 und 4.

Im EN 1991-1 sind Tabellen enthalten, die die Größe von cpe in Abhängigkeit von der Dachneigung festlegen. Diese Tabellen verwenden wir auch im Lastgenerator. Leider haben sich bei den Tabellen im Programm zwei Fehler eingeschlichen. So wurden in einigen Fällen falsche cpe Werte ermittelt. Dies ist in der nächsten Version behoben.

Ein weiterer Fehler befindet sich momentan noch im Programm. Durch diesen werden die Dachflächen unzulässigerweise in mehrere, sinnlos erscheinende, Bereiche eingeteilt. Dieser Fehler fällt sofort bei Betrachten der Ergebnisse auf und ist mit dem nächsten Update behoben.




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