Berechnung nach Th.2. Ordnung, Teil 2

Wie ich hier beschrieben habe, werden die Schnittgrößen bei einer Berechnungen nach Th.2.Ordnung am verformten System ermittelt. Zu Beginn einer Berechnung sind die Verformungen natürlich nicht bekannt. Aus diesem Grund muss die Berechnung iterativ durchgeführt werden.

Dies kann man auch von Hand folgendermaßen durchführen:

Die Berechnung wird zunächst mit den ursprünglichen Einwirkungen am unverformten System durchgeführt. An diesem System ergeben sich Verformungen.

Im nächsten Schritt werden die Einwirkungen auf das verformte System aufgebracht. Diese Berechnung führt zu größeren Verformungen. Nun wird die Differenz der Verformungen aus der vorherigen Berechnung zur aktuellen Berechnung ermittelt.

Dieses Vorgehen wird solange durchgeführt, bis sich die Differenzen nicht mehr “viel” ändern.

Bei dieser iterativen Berechnung können nun zwei Dinge passieren:

1. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt größer. In diesem Fall existiert, rein mathematisch betrachtet, für die Verformungen kein Maximalwert. Das System ist nicht berechenbar, also instabil.

2. Die Differenzen werden von Schritt zu Schritt immer kleiner. Die Verformungen wachsen bis zu einem Grenzwert an, der nicht überschritten wird. In diesem Fall ist das System berechenbar, also stabil. Hier handelt es sich, mathematisch betrachtet, um eine Reihe, die einem Grenzwert entgegenstrebt. Manuell würde man mit der Iteration aufhören, sobald das Ergebnis “genau genug” ist.

Bei einem vorhandenen statischen System wird die Grenze zwischen Fall 1 und Fall 2 auf der Lastseite durch die “Knicklast” beschrieben. Ist die vorhandene Einwirkung kleiner aus die Knicklast, ist das System stabil, ansonsten instabil.

In unserem Programm wird diese Berechnung nicht iterativ durchgeführt. Vielmehr enthalten die Steifigkeitsmatrizen direkt die Anteile aus der Berechnung nach Th.2. Ordnung. Auf diese Weise spart sich das Programm die Iteration und somit ist die Berechnung viel schneller als die iterative Variante.